Однородные системы линейных уравнений

Разглядим систему линейных однородных уравнений:

(2.5.1)

Система (2.5.1) является личным случаем системы (2.1.1). Она всегда совместна. С одной стороны, это вытекает из аксиомы Кронекера–Капелли, потому что матрица получена из А добавлением нулевого столбца и, как следует, ранги этих матриц равны. С другой стороны, это видно и конкретно, потому что ей всегда удовлетворяет решение , которое Однородные системы линейных уравнений будем именовать нулевым, либо элементарным. Иногдасистема (2.5.1), не считая очевидного, может иметь и другие решения (нетривиальные). Разглядим условия существования нетривиальных решений для данной однородной системы.

Используя аксиомы 2.2.2, 2.2.3 и замечание 2.2.1, получим последующие результаты.

Пусть матрица А системы (2.5.1)имеет ранг .

Система линейных однородных уравнений (2.5.1) и тогда только тогда имеет единственное Однородные системы линейных уравнений нулевое решение, когда ранг ее матрицы равен количеству неведомых, т. е. r=n.

А именно, если количество уравнений в системе совпадает с числом неведомых (m=n), то система (2.5.1) имеет единственное нулевое решение и тогда только тогда, когда матрица А невырожденная, т.е. .

Для того чтоб система (2.5.1) имела нетривиальные решения Однородные системы линейных уравнений, нужно и довольно, чтоб ранг матрицы системы был меньше числа неведомых, т. е. r

Если в однородной системе (2.5.1) число уравнений меньше числа неведомых (m

Все нетривиальные решения системы можно отыскать, решая систему способом Гаусса, который тщательно описан в прошлом параграфе.

Замечание 2.5.1. В матрице Однородные системы линейных уравнений однородной системы (2.5.1) нулевой столбец свободных членов писать не будем. Потому заместо матрицы будем писать матрицу А.

Пример 2.5.1. Решить однородные системы уравнений

a) b)

Решение:

a)Система состоит из 3-х уравнений, содержащих 5 неведомых. Данная система является неопределенной, как неважно какая однородная система, в какой число уравнений меньше числа неведомых. Составим матрицу системы и Однородные системы линейных уравнений при помощи простых преобразований над строчками приведем ее к трапециевидной форме:

Найдем один из базовых миноров этой матрицы.

Потому что не существует, то минор является базовым. Переменные , коэффициенты при которых составляют базовый минор, будем считать базовыми, а другие переменные – небазисными, либо свободными. Последней матрице соответствует система Однородные системы линейных уравнений:

Пусть , где , тогда является общим решением системы.

Ответ: ; .

Замечание 2.5.1. Тут в качестве базовых переменных можно было бы взять переменные . Но вычисления в данном случае будут более массивными.

b)

Матрица системы приведена к треугольной форме, как следует, система имеет единственное банальное решение.

Ответ: .

Пусть – вектор-решения системы (2.5.1), а – некие числа. Тогда выражение Однородные системы линейных уравнений вида , согласно определению 1.4.1, является линейной композицией вектор-решений системы.

Определение 2.5.1. Вектор-решения именуются линейно зависимыми, если хотя бы одно из их является линейной композицией других. В неприятном случае, вектор-решения именуются линейно независящими.

Вектор-решения системы линейных однородных уравнений обладает последующими качествами.

Лемма 2.5.1. Неважно какая линейная композиция конечного Однородные системы линейных уравнений числа вектор-решений системы однородных линейных уравнений (2.5.1) также является вектор-решением данной системы.

В этом нетрудно убедиться конкретной подстановкой линейной композиции вектор-решений в систему.

Лемма 2.5.2. Пусть для системы линейных однородных уравнений (2.5.1) , где r – ранг матрицы системы, а n – число неведомых. Тогда эта система имеет (n–r) линейно Однородные системы линейных уравнений независящих вектор-решений таких, что хоть какое другое решение этой системы является их линейной композицией.

Подтверждение.

Потому что в системе (2.5.1) , то данная система имеет n–r свободных неведомых. Не нарушая общности, можно считать неведомые базовыми. Решая систему способом Гаусса, выразим базовые переменные через небазисные

(2.5.2)

Тогда хоть какое вектор-решение этой системы Однородные системы линейных уравнений можно записать в виде

(2.5.3)

где – произвольные числа; определяются равенствами (2.5.2) при условии, что .

Разглядим вектор-решения системы (2.5.1)

(2.5.4)

Разумеется, что эти вектор-решения линейно независящие. Для хоть какого вектор-решения С системы (2.5.1) имеем . Другими словами, вектор-решение (2.5.3) является линейной композицией линейно независящих вектор-решений .

Замечание 2.5.1. Можно показать, что (n–r) – наибольшее Однородные системы линейных уравнений число линейно независящих вектор-решений системы.

Определение 2.5.2. Наибольший набор линейно независящих решенийоднородной системы именуется базовой системой решений.

Совокупа решений (2.5.4) является базовой. Эта совокупа именуется нормированной базовой системой решений.

Замечание 2.5.2. Для нахождения нормированной базовой системы решений однородной системы с n неведомыми ранга r (r

Пример 2.5.2. Отыскать фундаментальную систему решений для системы из примера 2.5.1а.

Решение.

В примере 2.5.1 уже найдено общее решение системы ; . Базовая система решений состоит из 5–3=2 решений. Беря в качестве свободных переменных строчки (столбцы) единичной матрицы , т.е. , получаем вектор-решения

образующие нормированную фундаментальную систему Однородные системы линейных уравнений решений.

Ответ: .

Пример 2.5.3. Отыскать фундаментальную систему решений системы

Решение.

В данной системе число уравнений меньше числа неведомых. Как следует, система имеет нетривиальные решения. Таким макаром, существует базовая система решений обозначенной системы. Найдем общее решение системы способом Гаусса:

В качестве базовых можно взять переменные , потому что коэффициенты при этих неведомых Однородные системы линейных уравнений образуют ненулевой определитель . Другие переменные – будем считать свободными. Выражая базовые переменные через небазисные, получим

Общее решение системы имеет вид: , где . Базовая система решений системы состоит из 5–2=3 вектор-решений. Найдем их, беря в качестве свободных переменных элементы строк (столбцов) матрицы . Вектор-решения

образуют нормированную фундаментальную систему решений данной системы.

Ответ:


* Леопольд Кронекер (1823–1891) – германский математик, Альфредо Однородные системы линейных уравнений Капелли (1855–1891) – итальянский математик. Независимо друг от друга установили аспект совместности случайной системы линейных уравнений.

* Габриель Крамер (1704–1752) – швейцарский математик. Открыл и опубликовал в 1750 году правило решения систем n линейных уравнений с n неведомыми.

* Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) – германский математик. В 1849 году в собственной работе обрисовал способ поочередного исключения неведомых Однородные системы линейных уравнений для нахождения решений систем линейных уравнений.


odnim-iz-prioritetnih-napravlenij-razvitiya-sovremennoj-obsheobrazovatelnoj-shkoli-yavlyaetsya-vnedrenie-novih-informacionnih-tehnologij-v-obrazovatelnij-process.html
odnim-slovom-isparenie-vodi-est-li-neobhodimoe-fiziologicheskoe-otpravlenie-ili-tolko-neizbezhnoe-fizicheskoe-zlo.html
odno-bolshoe-familnoe-drevo.html